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[논리회로] 불 대수
논리식의 표현
기본 불 대수식은 AND, OR, NOT을 이용하여 표현한다.
- AND식은 곱셈의 형식 → ‘∙’ 기호 또는 생략
- OR 식은 덧셈의 형식 → ‘+’ 기호
- NOT식은 Aˊ 로 표현 → ‘not’, ‘바’ 또는 ‘프라임’으로 발음
계산 우선순위
- 괄호
- NOT
- AND
- OR
논리식
입력 항목들의 상태에 따른 출력을 결정하는 식 ex) F = A’B
- 입력의 개수에 따라 1입력, 2입력, 3입력..으로 표현
불 대수 법칙
공리
- A = 0 or A = 1
- 0 ∙ 0 = 0
- 1 ∙ 1 = 1
- 0 + 0 = 0
- 1 + 1 = 1
- 1 ∙ 0 = 0 ∙ 1 = 0
- 1 + 0 = 0 + 1 = 1
기본 법칙
① A+0=0+A=A ② A·1=1·A=A ③ A+1=1+A=1
④ A·0=0·A=0 ⑤ A+A=A ⑥ A·A=A
⑦ A+A’=1 ⑧ A·A’=0 ⑨ A’‘=A
교환 법칙
⑩ A+B=B+A ⑪ AB=BA
결합 법칙
⑫ (A + B) + C = A + (B + C) ⑬ (AB) C = A (BC)
분배 법칙
⑭ A (B + C) = AB + AC ⑮ A + BC = (A+B)(A+C)
드모르간 정리
⑯ A’ + B’ = A’ B’ ⑰ A’B’ = A’ + B’
흡수 법칙
⑱ A + AB = A ⑲ A(A+B) = A
합의의 정리
⑳ AB + BC + A’C = AB + A’C
쌍대 관계
부울 대수에서 하나의 논리식과 다른 논리식 사이에서 다음 관계에 있을 때 쌍대 관계라 한다.
-
모든 And연산자와 OR연산자를 바꾸어 만들어진 논리식 ex) a∙(b+c) = (a∙b)+(a∙c)
-
하나의 정리를 입증하면 쌍대가 되는 수식은 자동 입증
불 대수 증명 방법
- 회로를 통한 증명
- 진리표를 통한 증명
- 벤다이어그램
- 부울 대수를 하나의 집합으로 본다.
- AND연산은 교집합
- OR연산은 합집합
- NOT연산은 여집합
불 대수의 표현 형태
곱의 합과 최소항
곱의 합(SOP)
- SOP의 구성 1 단계는 AND항으로 구성되고 2단계는 OR항으로 만들어진 논리식
최소항: 표준 곱의 항
- 함수의 모든 변수를 포함하고 있는 항
- ex) F = ABCD …
합의 곱(POS)와 최대항
합의 곱
- 1단계는 OR항, 2단계는 AND항으로 만들어진 논리식
- ex) (A + B)(A + C)
최대항
- 모든 변수를 포함하는 OR항
- ex) A + B + C + D
최소항과 최대항의 관계
- 최소항은 출력이 1인 항을 SOP형태로 나타낸 것
- 최대항은 출력이 0인 항을 POS형태로 나타낸 것
- 최소항과 최대항은 상호 보수의 성질을 갖는다
논리식 간소화 방법
- 대수적 방법
- 어떤 순서로 적용해야 하는지 정하는 것이 번거롭고 많은 경험과 기술이 필요
- 다른 방법의 이론적 기초
- 도표 방법
- 카르노 맵
- 사람에게는 직관적이지만 프로그램화에 부적합하다.
- 알고리즘 방법
- 프로그램화에 적합해 많은 변수를 갖고 있는 불 함수의 간소화에 적당
